什么是线性动画,线性代数有什么用

下文是节选自[遇见数学]发布过的《「图解线性代数」-以动画方式轻松理解线性代数的本质与几何意义》一文.线性变换是线性空间中的运动，而矩阵就是用来描述这种变换的映射，可以这样说矩阵的本质就是映射!这样说还是没有直观印象，所以还是直接看图解的动画吧.矩阵不仅仅只是数值的表。

1、矩阵的本质和意义是什么？

下文是节选自[遇见数学]发布过的《「图解线性代数」-以动画方式轻松理解线性代数的本质与几何意义》一文.线性变换是线性空间中的运动,而矩阵就是用来描述这种变换的映射,可以这样说矩阵的本质就是映射!这样说还是没有直观印象,所以还是直接看图解的动画吧.矩阵不仅仅只是数值的表:其实表示了在该矩阵的作用下,线性空间是怎样的变化,观察下图二维平面中水平和垂直方向的伸缩过程:从上面动画中可以观察到:垂直方向并没有发生任何变换(A的第二列没有变化);水平方向伸展了2倍;浅红色方格在变换后面积变成了原来的2倍,这里其实就是行列式的意义-面积的扩张倍率Det(A)=2再看到更多矩阵变换之前,先停下来看看下面静态图片的进一步解释:变换前矩阵的基底向量i(1,0)移动到了(2,0)的位置,而j基底向量(0,1)还是(0,1)没发生任何变换(移动)-也就是基底的变化:一旦明白了基底的变化,那么整个线性变换也就清楚了-因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出.观察下面红色向量(1,1.5)和绿色向量(-1,-3)变换后落脚的位置:向量(1,1.5)在变换后的位置,其实就是变换后基向量的线性表示,也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:类似对于(-1,-3)变换后的位置,也是一样的计算方法:可以再次观察上面动画来体会,验证算出的结果.下面再看其他的变换矩阵这里矩阵A的对角线中(0,2)含有一个0的情况,观察下面动画:可以看到:水平方向变为0倍;垂直方向被拉伸为2倍;面积的变化率为0倍,也就是Det(A)=0;基底的变化如下:再看看下面这个矩阵A的变换:可以看到:整个空间向左倾斜转动;面积放大为原来的Det(A)=3.5倍;上面在3个不同的矩阵作用下(相乘),整个空间发生不同的变换,但是原点没有改变,且直线依然还是直线,平行的依然保持平行,这就是线性变换的本质.类似,在三维线性空间内,矩阵也用于这样的线性变换,需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率.观察下图,经过下面矩阵A的变换中,空间会经过镜像翻转变换(扁平化为线),所以行列式的值会是负数.(完)。

2、线性代数有什么用？

线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用，计算机程序与解方程组举个较为简单例子，线性方程组的解集可以由计算机程序解得。计算机程序在求取线性方程组的解集时，常用方法为回代法，先写出线性方程组的增广矩阵，再化为行阶梯形，求出最后一行的未知数的解，然后向上一一求解，浮点运算于计算机中的应用当然，解集的精确度是由浮点来确定的。

在玩游戏的时候，不同的电脑，可能会影响你击杀敌人的精确度，这就是因为浮点不同的缘故，这就是线性代数在计算机领域中的一个应用。当然应用不止这些方面，如果有志学习数学，你就会体会到线性代数在现实应用中的重要作用了，如果你对线性代数感兴趣的话，想有所了解，我向你推荐一本教材，美国马里兰大学数学教授戴维·C·雷写的《线性代数及其应用》，该书不像国内高校数学教材那样苦涩，该书形像生动、深入浅出，又紧密结合计算机与工程学中的实际应用，既适合专业应用，也适合业余爱好者。